ناتمامیت گودل؛ وقتی نابغه‌ای ۲۴ ساله کاخ بی‌نقص ریاضی را برای همیشه فروریخت
منتشرشده: · فناوری
در بنیادی‌ترین سطح ریاضیات، حفره‌ای تاریک وجود دارد که به ما می‌گوید هرگز نمی‌توانیم همه‌چیز را با قطعیت بدانیم.
در بنیادی‌ترین سطح ریاضیات، حفره‌ای تاریک وجود دارد که به ما می‌گوید هرگز نمی‌توانیم همه‌چیز را با قطعیت بدانیم. شاید همین حالا که این متن را می‌خوانید؛ گزاره‌هایی وجود داشته باشند که کاملاً درست‌اند، اما هیچ انسان، هیچ ابرکامپیوتری یا ریاضی‌دانی نمی‌تواند اثباتشان کند.
اعداد اول را در نظر بگیرید، بلوک‌های سازنده‌ی ریاضیات که فقط بر یک و خودشان بخش‌پذیرند و گاهی بافاصله بسیار کمی از هم ظاهر می‌شوند؛ مثل ۱۱ و ۱۳، یا ۱۷ و ۱۹. به این زوج‌ها اعداد اول دوقلو می‌گویند. هرچه در محور اعداد به سمت بی‌نهایت پیش می‌رویم، اعداد اول کمیاب‌تر می‌شوند و اعداد اول دوقلو از آن هم نادرتر.
حدس مشهوری می‌گوید بی‌نهایت عدد اول دوقلو وجود دارد و هرچقدر هم اعداد بزرگ‌تر شوند، زوج‌ها هرگز تمام نمی‌شوند. تا این لحظه کسی نتوانسته حدس را ثابت یا رد کند و شاید هرگز نتوانیم پاسخی برایش پیدا کنیم، شاید هم فردا هوش مصنوعی اثباتی برایش ارائه دهد و دوباره دنیای ریاضیات را به هم بریزد!
چکیده متنی: در آغاز قرن بیستم، دیوید هیلبرت امیدوار بود تمام ریاضیات را بتوان بر مجموعه‌ای محدود از اصول و قواعدی بی‌نقص بنا کرد؛ دستگاهی که هر مسئله‌ای را سرانجام حل کند. اما کورت گودل، نابغه‌ی جوان اتریشی، با تبدیل گزاره‌ها به عدد و ساختن جمله‌ای که درباره‌ی اثبات‌ناپذیری خودش سخن می‌گفت، نشان داد این رویا دست‌نیافتنی است. قضیه‌های ناتمامیت او ثابت کردند هر سیستم صوری سازگار و به‌اندازه‌ی کافی قدرتمند، حقیقت‌هایی دارد که نمی‌تواند آن‌ها را اثبات کند؛ سیستم حتی نمی‌تواند با تکیه بر قواعد خودش سازگاری‌اش را هم تضمین کند. این کشف مرز میان حقیقت و اثبات را برای همیشه تغییر داد.
ریاضیات را همیشه دقیق‌ترین زبان جهان می‌دانند، پس چرا خودش نمی‌تواند همه‌ی حقایق را ثابت کند و تکلیف این حفره چه می‌شود؟
بیایید داستانِ یکی از سرگیجه‌آورترین بحران‌های فکری تاریخ علم را مرور کنیم؛ بحرانی که با رویای بی‌نقص‌کردن ریاضیات شروع شد؛ به کشف دیواری غیرقابل‌عبور رسید، ریاضی‌دانان زیادی را به زانو درآورد و مسیرش از ماشین تورینگ هم گذشت.
کپی لینک
جنگ داخلی ریاضی‌دان‌ها: «این نظریه یک بیماری است!»
سال ۱۸۷۴، گئورگ کانتور ریاضی‌دان آلمانی مقاله‌ای منتشر کرد که یکی از سرآغازهای نظریه‌ی مجموعه‌ها شد و درشکل‌گیری پایه‌‌های ریاضیات مدرن تاثیر زیادی داشت. در این چارچوب می‌توانستید هر چیزی را درون مجموعه‌ها دسته‌بندی کنید.
کانتور نشان داد حتی بی‌نهایت‌ها هم هم‌اندازه نیستند، اما راسل با یک معمای ساده کل این بنا را لرزاند
مجموعه‌ی تهی هیچ عضوی ندارد و در رویکرد ساده‌انگارانه‌ی اولیه حتی تصور مجموعه‌ای شامل همه‌چیز نیز ممکن به نظر می‌رسید، تصوری که بعداً دردسر آفرید.
دو مجموعه‌ی اعداد طبیعی و اعداد حقیقی را در نظر بگیرید. اعداد حقیقی علاوه بر اعداد صحیح، کسرها و اعداد کنگ را هم دربرمی‌گیرند. کانتور با استدلالی که امروز برهان قطری کانتور شناخته می‌شود، ثابت کرد تعداد اعداد حقیقیِ بین صفر و ۱، از تمام اعداد طبیعی که تا بی‌نهایت امتداد دارند؛ بیشتر است. بی‌نهایتِ اعداد طبیعی را شمارا و بی‌نهایتِ اعداد حقیقی را ناشمارا می‌نامند.
کار کانتور ضربه‌ای به ریاضیات سنتی زد و باعث شد جامعه‌ی ریاضی به دو مکتب فکری تقسیم شود.